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Estude! Saber é o maior diferencial que existe!

quarta-feira, 22 de setembro de 2010

Desafios Matemáticos - Resolvidos -



1-
EU TENHO O DOBRO DA IDADE QUE TU TINHAS QUANDO EU TINHA A TUA IDADE. QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS. QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES?
TINHAS uma idade que chamaremos de x e hoje TEM uma idade que chamaremos de y.
Eu TENHO o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade atual y (o dobro de x) , ou seja, eu TENHO 2x anos.
ENTÃO:
Tu TINHAS x e agora tem y.
Eu TINHA y e agora tenho 2x.
Portanto temos que:

y-x = 2x-y

2y=3x

x=(2/3)*y

ENTÃO, substituindo o valor de x, temos:

Tu TINHAS (2/3)*y e agora tem y.Eu TINHA y e agora tenho (4/3)*y.

Agora preste atenção na segunda frase:

QUANDO TU TIVERES A MINHA IDADE, A SOMA DAS NOSSAS IDADES SERÁ DE 45 ANOS.

Tu tem y, e para ter a minha idade, que é (4/3)*y, deve-se somar a tua idade y com mais (1/3)*y.

Somando y + (1/3)*y você terá a minha idade, ou seja, você terá (4/3)*y.

Como somamos (1/3)*y à sua idade, devemos somar à minha também, ou seja:

Agora eu tenho (4/3)*y + (1/3)*y, logo eu tenho (5/3)*y.

A soma de nossas idades deve ser igual a 45 anos:

(4/3)*y + (5/3)*y=45

(9/3)*y=45

3y=45

y=15

No início descobrimos que x=(2/3)*y, portanto x=(2/3)*15, logo x=10.

FINALMENTE: QUAIS SÃO AS NOSSAS IDADES?

COMO DISSEMOS NO INÍCIO, A TUA IDADE ATUAL É y, OU SEJA, 15 ANOS.

E A MINHA IDADE É 2x, OU SEJA, 2.10, QUE É IGUAL A 20 ANOS.

PORTANTO AS IDADES SÃO 20 E 15 ANOS! 


2- UM AUTOMÓVEL COMPORTA DOIS PASSAGEIROS NO BANCO DA FRENTE E TRÊS NO BANCO DE TRÁS. CALCULE O NÚMERO DE ALTERNATIVAS DISTINTAS PARA LOTAR O AUTOMÓVEL UTILIZANDO 7 PESSOAS, DE MODO QUE UMA DESSAS PESSOAS NUNCA OCUPE UM LUGAR NOS BANCOS DA FRENTE.



São 7 pessoas, sendo que uma nunca pode ir num banco da frente. 
Vamos chamar essa pessoa de João, por exemplo. 

Então primeiro vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel SEM o João, usando apenas as outras seis pessoas: 
Como temos 6 pessoas e 5 lugares no carro então calculamos o arranjo de 6 elementos, tomados 5 a 5: 

A6,5= 720 

Agora vamos calcular o número de maneiras de lotar o automóvel COM o João. 

Sabemos que o João não pode estar nos bancos da frente, portanto ele deve estar em um dos três bancos de trás. 
Então fixamos o João em um dos lugares traseiros (então sobram 4 lugares no carro), e depois calculamos o número de maneiras de colocar as outras 6 pessoas nesses 4 lugares, ou seja, um arranjo de 6 elementos, tomados 4 a 4: 

A6,4= 360 

O João pode estar em qualquer um dos três bancos de trás, portanto devemos multiplicar esse resultado por 3: 

3 x A6,4= 3 x 360 = 1080 

O número total de maneiras de lotar o automóvel é a soma dos dois arranjos (COM João e SEM João). 
Portanto número total é 720+1080 = 1800 maneiras!





AS IDADES DE DUAS PESSOAS HÁ 8 ANOS ESTAVAM NA RAZÃO DE 8 PARA 11; AGORA ESTÃO NA RAZÃO DE 4 PARA 5. QUAL É A IDADE DA MAIS VELHA ATUALMENTE?

solução é a seguinte:

Chamaremos de y a idade da pessoa mais nova.

Chamaremos de x a idade da pessoa mais velha.

O problema diz que agora (atualmente) as idades estão na razão de 4 para 5. Então:

y/x = 4/5 (equação 1)

O problema diz que há 8 anos as idades estavam na razão de 8 para 11. Então:

(y-8)/(x-8) = 8/11 (equação 2)

Isolando y na equação 1:

y = 4x/5

Colocando esse valor de y na equação 2 temos:

((4x/5)-8)/(x-8) = 8/11

(4x/5)-8 = 8/11.(x-8)

Fazendo o mmc dos dois lados temos:

(4x-40) / 5 = (8x-64) / 11

11.(4x-40) = 5.(8x-64)

44x-440 = 40x-320

44x-40x = 440-320

4x = 120

x= 30

Portanto a idade da pessoa mais velha é 30 anos!!!








3- UM HOMEM GASTOU TUDO O QUE TINHA NO BOLSO EM TRÊS LOJAS. EM CADA UMA GASTOU 1 REAL A MAIS DO QUE A METADE DO QUE TINHA AO ENTRAR. QUANTO O HOMEM TINHA AO ENTRAR NA PRIMEIRA LOJA?


Que quando o homem entrou na primeira loja ele tinha N reais. Então o nosso objetivo é achar o valor de N.

O problema diz que em cada loja o homem gastou 1 real a mais do que a metade do que tinha ao entrar.

LOJA 1
LOJA 2
LOJA 3
O homem entrou com N.
O homem GASTOU:
(N/2)+1.
Portanto o homem FICOU com:
N - ((N/2)+1)
= N-(N/2)-1
= (2N-N-2) / 2
=
(N-2)/2

O homem entrou com (N-2)/2
O homem GASTOU:
( (N-2)/2 )/2 + 1 = (N-2)/4 + 1 = (N+2)/4
Portanto o homem FICOU com:
(N-2)/2 - ((N+2)/4)
= (2N-4-N-2) / 4
=
(N-6)/4

O homem entrou com (N-6)/4
O homem GASTOU:
( (N-6)/4 )/2 + 1
= (N-6)/8 + 1
=
(N+2)/8


Portanto o homem FICOU com ZERO REAIS, porque o problema diz que ele gastou tudo o que tinha nas três lojas. Então concluímos que o dinheiro que ele ENTROU na loja 3 menos o dinheiro que ele GASTOU na loja 3 é igual a ZERO:

(N-6)/4 - ((N+2)/8) = 0

(2N-12-N-2) / 8 = 0

2N-12-N-2 = 0

N-14 = 0

N = 14





PORTANTO, QUANDO O HOMEM ENTROU NA PRIMEIRA LOJA ELE TINHA 14 REAIS.



Vamos representar através de um fluxo, o que ocorreu desde sua entrada na 1ª loja, até a saída na última e em, seguida, percorrer o fluxo de "trás para frente", aplicando operações inversas. Cabe lembrar que a quantia que tinha ao entrar em cada loja (que representarei por N1, N2 e N3) fica sempre dividida por 2 e, em seguida, subtraída de 1 real.



(N1)/2 - 1 (saiu da loja 1 com N2)
(N2)/2 - 1 (saiu da loja 2 com N3)
(N3)/2 - 1 (saiu da loja 3 com zero, já que gastou tudo o que possuía).

Aplicando operações inversas, teremos do fim para o início:
(0 + 1) x 2 = 2
(2 + 1) x 2 = 6
(6 + 1) X 2 = 14
Logo, possuía ao entrar na 1ª loja R$14,00.














4- DETERMINE O MENOR NÚMERO NATURAL CUJA:



DIVISÃO POR 2 TEM RESTO 1; 

DIVISÃO POR 3 TEM RESTO 2; 

DIVISÃO POR 4 TEM RESTO 3; 

DIVISÃO POR 5 TEM RESTO 4; 

DIVISÃO POR 6 TEM RESTO 5; 

DIVISÃO POR 7 TEM RESTO 0. 

Suponhamos que estamos procurando o número X. Observe essas condições exigidas pelo problema: 

X dividido por 2 dá resto 1. 

X dividido por 3 dá resto 2. 

e assim por diante até: 

X dividido por 6 dá resto 5. 

Então podemos notar que o resto dá sempre uma unidade a menos do que o divisor. 

Isso significa que o número seguinte ao número X, ou seja, X+1, será divisível por 2,3,4,5 e 6. 

Bom...já que X+1 é divisível por esses cinco números, então o número X+1 pode ser igual a 4x5x6=120. 

Portanto, se X+1 é igual a 120, o número X que estamos procurando é 119, que também é divisível por 7. 



5- CONSIDERE OS NÚMEROS OBTIDOS DO NÚMERO 12345, EFETUANDO-SE TODAS AS PERMUTAÇÕES DE SEUS ALGARISMOS. COLOCANDO ESSES NÚMEROS EM ORDEM CRESCENTE, QUAL É O LUGAR OCUPADO PELO NÚMERO 43521? 

Colocando-se as permutações obtidas pelos 5 algarismos em ordem crescente:

1xxxx => P4 = 4! = 24
2xxxx => P4 = 4! = 24
3xxxx => P4 = 4! = 24
41xxx => P3 = 3! = 6
42xxx => P3 = 3! = 6
431xx => P2 = 2! = 2
432xx => P2 = 2! = 2
4351x => P1 = 1! = 1 

Somando todas elas:
24+24+24+6+6+2+2+1 = 89



Então o número 43521 está na posição 89+1 = 90.

Resposta: O número 43521 está na 90º posição.







6- Se eu leio 5 páginas por dia de um livro, eu termino de ler 16 dias antes do que se eu estivesse lendo 3 páginas por dia. Quantas páginas tem o livro? 

Sendo N o número de páginas do livro, temos: 


N/5 = (N/3)-16 

(N/5)-(N/3) = -16 

(3N-5N)/15 = -16 

3N-5N = -16*15 

-2N = -240 

N = 120 

O livro possui 120 páginas! 




7- Com os algarismos x, y e z formam-se os números de dois algarismos
xy e yx, cuja soma é o número de três algarismos zxz.
Quanto valem x, y e z? 

são números de 2 algarismos, que somados resultam o número de três algarismos zxz. 

xy+yx = zxz 

O maior número que pode ser formado somando dois números de 2 algarismos é: 

99+99 = 198 

Ora, se o número zxz é de 3 algarismos, e o maior número que ele pode ser é 198, então concluímos que z=1. 

Se z=1 o resultado da soma é 1x1. 

Os valores de x e y que satisfazem a equação xy+yx = 1x1 são os seguintes: 

x=2 e y=9, ou seja 29+92 = 121 

Resposta: x=2 , y=9 , z=1








8- sítio existem 21 bichos, entre patos e cachorros. Sendo 54 o total de pés desses bichos, calcule a diferença entre o número de patos e o número de cachorros. 


O total de patos e cachorros é 21: 

P+C = 21 

O total de pés é 54. Patos tem 2 patas e cachorros tem 4 patas. então: 

2P+4C = 54 

Portanto temos duas equações. Isolando P na primeira temos: 

P = 21-C 

Substituindo na segunda equação temos: 

2(21-C)+4C = 54
42-2C+4C = 54
2C = 54-42
2C = 12
C = 6 

Agora basta encontrar o P: 

P = 21-C
P = 21-6
P=15 

Há 15 patos e 6 cachorros, portanto a diferença é 15-6 = 9.






9- Deseja-se descobrir quantos degraus são visíveis numa escada rolante. Para isso foi feito o seguinte: duas pessoas começaram a subir a escada juntas, uma subindo um degrau de cada vez enquanto que a outra subia dois . Ao chegar ao topo, o primeiro contou 21 degraus enquanto o outro 28. Com esses dados foi possível responder a questão. Quantos degraus são visíveis nessa escada rolante? (obs: a escada está andando).


Essa questão é realmente muito boa! 

Bom...para facilitar vamos dar nome as pessoas: 

GUSTAVO sobe 2 degraus por vez
MARCOS sobe 1 degrau por vez. 

Conforme diz o enunciado, quando GUSTAVO chegou ao topo ele contou 28 degraus. Como ele anda 2 por vez, na verdade o GUSTAVO deu 14 passos. Então quando ele chegou no topo, o MARCOS havia andado 14 degraus, pois ele anda 1 por vez (faça o desenho que você entenderá melhor). 

Lembre-se que a escada está andando. Então ao mesmo tempo que GUSTAVO andou 28 e o MARCOS andou 14, a escada havia andado sozinha X degraus. O enunciado diz que quando MARCOS chegou ao topo ele contou 21 degraus. Como ele está no 14, ainda faltam 7 para ele chegar ao topo (ou seja, falta metade do que ele já andou - 7 é metade de 14). Portanto durante esses 7 que faltam, a escada andará sozinha mais X/2 degraus (pois se em 14 degraus ela andou X, em 7 ela andará X/2). 

FEITO! O número de degraus visíveis para o GUSTAVO e para o MARCOS deve ser o mesmo. Então basta montar a equação: 

28+X = (14+X)+(7+(X/2)) 

28+X = 21+(3X/2) 

28-21 = (3X/2)-X 

7 = X/2 

X = 14 

Se X=14, o número de degraus visíveis é (o GUSTAVO andou 28+X no total): 

28+14 = 42 degraus 

Note que para o MARCOS o resultado deve ser o mesmo: 

(14+X)+(7+(X/2)) = (14+14)+(7+14/2) = 28+14 = 42 degraus 

Resposta: SÃO VISÍVEIS 42 DEGRAUS NA ESCADA ROLANTE!


10- Joãozinho, um rapaz muito indiscreto, sabendo da reação de uma senhora, que conhecia há algum tempo, quando falaram em idade, resolveu aprontar. Numa reunião social, na presença de todos, perguntou-lhe a idade. A senhora respondeu: 

- Tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tu tens menos quatro anos. Daqui a cinco anos a soma de nossas idades será 82 anos. 

Se você fosse um dos presentes, você concluiria que a senhora tem que idade?


O modo de resolver esse problema é o mesmo do desafio 1.
Aplique o mesmo método e você encontrará que
A SENHORA TEM 40 ANOS.
















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